Guía de matemática financiera - Tipos de interés equivalentes

6.- Tipos de interés equivalentes

6.1.- Tipos de Interés equivalentes en la Capitalización Compuesta y Amortización

Ya vimos para la capitalización simple que tipos equivalentes son aquellos que aplicados a un capital inicial determinado producen el mismo capital final durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a diferentes períodos de capitalización.

También vimos entonces que para la capitalización simple los tipos proporcionales son equivalentes, pues bien, en el caso del interés compuesto no es así.

Si llamamos m a la frecuencia de capitalización, es decir, el número de veces que durante un período de tiempo se capitalizan los intereses producidos tendremos que para un año :

  m = 2  Cuando se capitalicen los intereses semestralmente
  m = 3  Cuando se capitalicen los intereses cuatrimestralmente
  m = 4  Cuando se capitalicen los intereses trimestralmente
  …
  m        Cuando se capitalicen los intereses m-esimamente  

Por tanto, dado un tipo de interés anual i y una frecuencia m de capitalización llamaremos "i"    al tipo de interés efectivo anual o Tasa Anual de Equivalencia que todos podemos ver en el mercado financiero como TAE.

i _m: al  tipo de interés equivalente,  el tipo de interés de un período fraccionado.

J _m: será el tipo nominal convertible.  En este caso se trata de un tipo teórico, no real,  pero, eso sí,  proporcional anual,  es decir el producto de  m veces i _m. Esto es:

J _m =  m · i _m   ;      i _m  =  J _m  /  m

Hagámonos el siguiente razonamiento:

1. Un euro invertido durante un año al tipo de interés i nos dará como resultado un capital final de( 1 + i ).  Ese mismo euro invertido durante el mismo periodo pero con una frecuencia de capitalización m al tipo i _m , nos dará un capital final de (1 + i _m )^m.
2. Para que el tipo i sea equivalente a i _m, los capitales finales  por definición han de ser iguales, por lo que:

   ( 1 + i ) = (1 + i _m )^m

3. Podemos por tanto conocer:
   • el tipo de interés anual en función del fraccionado:

     i = ( 1 + i _m )^{m - 1}

   • el tipo de interés efectivo para un período fraccionado en función del anual.

     i _m =  ( 1 + i )  - 1

6.2.- Equivalencia entre Tipo de interés postpagable y prepagable

Préstamo con intereses postpagables

Si presentamos el esquema correspondiente al pago de los intereses, la operación quedaría del siguiente modo:

Siendo los intereses de cada intervalo los siguientes:

I₁=C₀·i
I₂=C₁·i
........
I_n=C_n-1·i

Préstamo con intereses prepagable

En este tipo de amortización los intereses que se producen un periodo se pagan en el periodo anterior, es decir se anticipan, de tal modo que el esquema financiero del pago de los intereses sería el siguiente:

Siendo los intereses de cada intervalo los siguientes:

I*₁= C₀·i*
I*₂= C₁·i*
.........
I*_n= C_n-1·i*

Sabiendo esto podemos decir que: I_s=I*_s(1+i), y sustituyendo:

C_s-1·i = C_s-1·i*(1+i)

i = i*(1+i)

i* = i / (1+i)

Del mismo modo también sabemos que: (1+i)=(1+i*), y despejando obtenemos: