Guía de matemática financiera - Constitución de capitales

4.- Constitución de capitales

4.1.- Definición Capitalización Compuesta

Régimen de Capitalización Compuesta o del Interés compuesto. Se conoce como tal al proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. Así sucesivamente, tiene lugar la capitalización periódica de los intereses. Esto en la práctica se traduce por ejemplo en el acuerdo entre las partes para que al final de cada período los intereses producidos por un préstamo en lugar de liquidarse al prestamista se incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el período siguiente.

Seguiría el siguiente esquema:

Recibe el nombre de Capitalización compuesta la operación de prestación múltiple y contraprestación única con vencimiento posterior. La operación de constitución tiene por objeto la formación o constitución de un capital mediante la realización de un plan de ahorro de un plan de inversión.

Elementos fundamentales para el cálculo de la Capitalización Compuesta:

C₀ = Capital inicial
n = número de períodos ( años generalmente ) que dura la operación.
i = Tipo de interés anual, rendimiento por cada peseta invertida en un periodo.
I = Interés total,suma de los intereses de cada año o de cada período.
C_n = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.

4.2.- Cálculo del Capital final

1. Operación de constitución de prestación y contraprestación única.
   El capital final es la suma del capital inicial más los intereses generados durante el periodo de vida de la operación financiera.
   Es decir, estamos calculando el capital final C_n, sobre un capital inicial C₀ a un tipo de interés anual "i" para "n" períodos.
   • Capital al final del primer año:    C₁ = C₀ + ( C₀· i ) = C₀ ( 1 + i )
   • Capital al final del segundo año: C₂ = C₁ + (C₁· i ) = C₁·( 1+i ) = C₀·( 1+i )·(1+i) = C₀·( 1+i)²
   • Capital al final del tercer año: C₃ = C₂ + (C₂· i ) = C₂·( 1+i ) = C₀·(1+i )²·( 1+i ) = C₀·(1+i)³
   • De este modo, al final de n años  el capital final será:
     C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ
2. Operación de constitución de prestaciones múltiples y contraprestación única.
   El capital final será la sumas de todos los términos invertido con los intereses generados por cada término. Estamos calculando el capital final formado por los términos que invertimos a un tipo de interés anual "i" durante "n" períodos.
   
   • Capital creado hasta 1:  C₁=a₁
   • Capital creado hasta 2:  C₂= C₁(1+i)+a₂ =a₂(1+i)+a₃
   • Capital creado hasta 3: C₃= a₁(1+i)²+a₂(1+i)+a₃
   • De este modo, en el periodo n el capital final será:
     C_n=a₁(1+i)^n-1+a₂(1+i)^n-2+....+a_n-1(1+i)+a_n

4.3.- Cálculo de los intereses

1. En el caso de prestación y contraprestación únicas:
   Ya hemos visto en varias ocasiones que el capital final es la suma del capital inicial más los intereses de manera quesi despejamos el interés total I tendremos

   C_n=C₀+ I;      I = C_n- C₀

   Y como hemos visto en el anteriormente  C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ ;
   sustituimos: I = C₀ ( 1 + i )ⁿ - C₀ , sacando C₀ factor común nos quedaría:
   I = C₀ [ ( 1 + i )ⁿ - 1 ]
   Ejemplo:
   Los intereses producidos por un capital de 1.000.000 de euros durante diez años al 4.5% anual de interés compuesto serán 
   

   I = 1.000.000 [ ( 1 + 4.5% )¹⁰ – 1 ]

2. En el caso de una constitución de n términos:
   
   I=a₁·i^n-1+a₂·i^n-2+......+a_n-1·i+a_n

4.4.- Cálculo del capital inicial

El cálculo del capital inicial es para el caso de prestación y contraprestación únicas.

Despejando el capital inicial C₀ en la fórmula ya vista C_n = C₀ (1 + i )ⁿ nos queda lo siguiente:

Por otro lado también sabemos que   C_n= C₀ + I por lo que si despejamos el valor del capital inicial C₀ nos  queda: Ejemplo:
Sea un Capital final de  1.000.000 de euros; ¿cuál fue el Capital Inicial que lo produjo  invertido al 8 por ciento durante diez años?

C₀= 1.000.000 / ( 1 + 8%)¹⁰

4.5.- Cálculo del tipo de interés

Recurriremos de nuevo a la fórmula de partida  C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ . En esta ocasión despejaremos el tanto de interés por lo que tenderemos que:  C_n / C₀ = ( 1 + i )ⁿ
Si continuamos despejando:

Ejemplo:
A qué  tipo de interés fue  invertido un capital de 500.000 euros para convertirse en 625.000 al cabo de cinco años.

i = ( 625.000 / 500.000 )^1/5  - 1

4.6.- Cálculo del Periodo de tiempo

Se trata pues en esta ocasión de despejar "n" en nuestra útil fórmula C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ, tendremos por lo tanto:

C_n / C₀ = ( i + 1 )ⁿ

Tomamos logaritmos para despejar la incógnita ya que  está en la potencia:

log (C_n / C₀) =   log ( 1 + i)ⁿ

Si continuamos despejando: